Ceci est démystifié avec peu de références sur Snopes. On y prétend que l'origine du mythe était une désinformation délibérée pour cacher l'utilisation d'une technologie révolutionnaire utilisée par la RAF pour abattre des avions allemands. Cette affirmation concernant l'origine de la propagande trouve une source un peu meilleure dans l ' article Wikipedia sur l'un des officiers.

Le grain de vérité (qui contribue probablement à perpétuer le mythe) est mentionné dans l'article de Snopes et partiellement sauvegardé dans l'article (archivé) du CDC sur les carottes auquel ils renvoient:

Bêta-carotène, qui se trouve dans le légume, peut aider à réduire le risque de cataracte et de dégénérescence maculaire. Cependant, il convient de souligner que les études qui ont posé ce lien ont utilisé des doses de vitamine A ou de bêta-carotène supérieures à celles que l'on trouve dans l'alimentation standard. Il serait assez difficile de manger le nombre requis de carottes pour correspondre à ce niveau de consommation. En outre, parmi ceux qui souffrent d'une carence en vitamine A, la nyctanopie (également connue sous le nom de nyctalopie ou cécité nocturne; l'incapacité de bien voir dans une mauvaise lumière) peut être au moins quelque peu aidée en ajoutant des carottes au régime alimentaire de la victime.

Cette page sur WebMd contient une section intéressante intitulée "Mythes sur vos yeux et votre vision".

La partie pertinente:

Manger Les carottes amélioreront votre vision

Fait: les carottes sont riches en vitamine A, un nutriment essentiel à une bonne vision. Manger des carottes vous fournira la petite quantité de vitamine A nécessaire à une bonne vision, mais la vitamine A ne se limite pas à la nourriture pour lapin; on le trouve également dans le lait, le fromage, le jaune d'œuf et le foie.

Bien que l'explication ne soit pas aussi approfondie que l'article du CDC cité par @msouth, il semble corroboration décente.